Binomial y Poisson

La fórmula

Cuenta cuántos éxitos k aparecen al repetir n veces un mismo ensayo que solo puede salir bien o mal.

Cuándo usarla

• Hay un número fijo de ensayos, n.
• Cada ensayo tiene solo dos resultados: éxito o fracaso.
• La probabilidad de éxito p es la misma en todos los ensayos.
• Los ensayos son independientes entre sí.
• Se quiere el total de éxitos, sin importar el orden.

Pista en el enunciado: “de n piezas, ¿cuántas…?”, “se repite n veces”, “cada uno con probabilidad p”.

Cuidado: si se saca una muestra sin reemplazo de un lote pequeño, p cambia en cada extracción y el modelo correcto es la hipergeométrica.

La fórmula

Cuenta cuántas veces ocurre algo en un intervalo de tiempo, longitud, área o volumen, cuando se conoce el promedio λ.

Cuándo usarla

• Se cuentan ocurrencias en un intervalo continuo: tiempo, longitud, área o volumen.
• No hay un máximo de ocurrencias posible.
• Las ocurrencias son independientes entre sí.
• La tasa promedio es constante a lo largo del intervalo.
• Dos ocurrencias no caen exactamente en el mismo punto.

Pista en el enunciado: “en promedio llegan…”, “por hora”, “por metro”, “por cada 100 unidades”.

Ajuste del intervalo: λ = tasa × tamaño. Si llegan 4 por minuto y se observan 3 minutos, λ = 12.

Relación con la binomial: con n grande y p pequeña, la binomial se aproxima con Poisson usando λ = np. Regla práctica: n ≥ 20 y p ≤ 0,05.